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2024年5月18日 | 0 评论 | 体育资讯

2026年5月，国际顶级数学期刊《Inventiones Mathematicae》发表了一篇由中国团队撰写的论文，该研究在概率组合学领域取得了重大突破，首次实现了对Erdős在1947年提出的概率方法极限的指数级改进。

该论文的作者包括清华大学与中国科学技术大学的双聘教授马杰，以及两校的博士生申武杰和谢晟捷。

Erdős在1947年引入的概率方法，为整个概率组合学奠定了基础。此后近80年的时间里，该方法的极限一直未被根本性地突破。而这篇新发表的论文，首次带来了指数级的性能提升。

一枚硬币的80年难题

Erdős的方法核心在于对完全图的每条边进行随机着色，如同掷一枚硬币，正面为红色，反面为蓝色。例如，在任何足够大的社交网络中，必然存在一群人互相认识或互相不认识。Erdős利用此方法证明了“足够大”的规模至少是指数级的。

尽管在上界的研究方面，近年来不断有进展，甚至在2023年将近似值从4大幅提升至3.7992，但下界的基数部分，自Erdős提出以来近80年几乎未有变动。直到马杰团队提出了一个与球体几何相关的新颖想法。

改进的局限性与创新

传统的硬币着色方法，其特点是两种颜色各占一半且完全独立。这种方法简单易于分析，但未能利用几何结构来限制单色团的形成，从而浪费了信息。

申武杰的创新之处在于将几何概念引入随机性。他提出了“随机球图”模型，即将n个节点随机分布在高维球面上，并根据两点间的距离远近来着色，距离远的边涂为红色，距离近的边涂为蓝色。

高维球体的一个奇特性质是，当维度足够高时，几乎所有点都会聚集在赤道附近。随机选择的两个径向线之间的夹角几乎总是接近90度。这导致点对之间的距离集中在一个非常狭窄的区间内，从而使得着色不再是完全随机的，而是受到球面几何对称性的精确调控，这种球面结构能够天然地抑制大片单色团的出现。

然而，这种球面模型也带来了一个权衡：它降低了出现红色团的概率。因为要形成大的红色团，需要大量节点相互距离很远，而在有限的球面空间内，这种情况很难发生。但反过来，蓝色团的出现概率则有所增加。

研究团队随后在小规模图上进行了验证，发现在数以万计的着色方案中，不包含单色团的着色概率依然大于零，证明了这种方法带来的收益确实抵消了其代价。

接下来的关键在于数学证明，而这恰恰依赖于高维球面那些反直觉的几何特性。以近对角线Ramsey数 r(k, 2k) 为例，在这种两个参数相差一倍的情形下，Erdős的硬币方法给出的下界基数恰好是黄金比例 (1+√5)/2 ≈ 1.618。马杰、申武杰和谢晟捷则将这个基数提升到了 (1+√5)/2 + 10⁻²¹。这个改进量极其微小，仅为小数点后20个零后跟一个1。

但关键在于指数的提升。由于Ramsey数是指数级增长的，即使下界基数仅增加微不足道的数，当k趋向无穷时，新的下界将远远超越旧的下界。近80年来，没有任何人能够撼动这个基数。

他们的工作不仅是稍微提升了数字，更重要的是证明了Erdős的硬币方法并非最优着色方案。随机球图在结构上优于纯随机着色，这表明概率方法的天花板远未达到。这是该领域自Erdős以来首次实现指数级改进，也是首次提供了一条超越硬币方法的路径。不过，该方法存在一个明确的局限性：它仅在蓝色团大于红色团时有效。当两种颜色的禁忌团大小相等，即Erdős最初关注的对角线情形时，新方法的优势会消失。

学界反响热烈

该论文于2025年7月首次上传至arXiv预印本平台。不到一周，组合数学领域的知名学者Gil Kalai就在其博客上发表了一篇以“Amazing”开头的长文，高度评价该模型“具有相当的独立研究价值”。剑桥大学的Julian Sahasrabudhe也表示，能够用一个熟悉的概念解决一个长期存在的问题，令人感到惊讶，并认为这项技术此前似乎一直被忽视。

2025年12月，马杰在UCLA时的合作导师Benny Sudakov及其学生证明，即使不使用球面模型，而是采用高斯随机图，同样能获得类似效果。这一简化使得更多研究者能够参与到该方法的推广中。2026年初，该方法还被推广到了多色Ramsey数问题。最终，该研究成果于2026年5月正式发表于《Inventiones Mathematicae》。

清华“00后”博士生的洞察

论文作者之一的马杰，现任清华大学丘成桐数学科学中心教授及中国科学技术大学教授。他于2007年本科毕业于中科大，2011年在佐治亚理工学院获得博士学位，师从Xingxing Yu。之后，他在UCLA担任Hedrick助理教授，师从Benny Sudakov，随后在卡内基梅隆大学从事博士后研究。2015年回国后，他先在中科大任教，并于2024年同时加入清华丘成桐数学科学中心和北京雁栖湖应用数学研究院。马杰曾获得国家优青（2017年）和国家杰青（2022年）称号，并担任SIDMA期刊编委。2020年，他荣获国际组合数学与图论协会（ICA）颁发的Hall Medal，该奖项每年最多授予两名40岁以下的杰出组合数学家。

另一位作者谢晟捷，在高中时期曾获得数学联赛广东赛区一等奖，并于高二通过少创班提前进入中科大。本科期间，他获得了丘赛团体铜牌。2023年，他选择留校直博，师从马杰，在发表此项成果时为博士三年级在读生。

申武杰，这位“00后”博士生，目前在清华大学丘成桐数学科学中心攻读博士学位，导师为丘成桐教授。在成果发表时，他为博士四年级在读生。高中时期，他曾获得全国中学生数学奥林匹克竞赛三等奖。2018年，他考入北京大学数学学院，本科期间获得了全国大学生数学竞赛一等奖、阿里巴巴数学竞赛银奖以及ICCM创意本科论文奖。2022年，他进入清华大学攻读博士学位。在博士学习的前几个学期，申武杰主要研究几何与拓扑，与Ramsey理论并无直接联系。2024年春季，他偶然阅读到一篇关于Ramsey数的论文，对其产生了浓厚兴趣，并开始思考是否存在比Erdős的硬币方法更有效的随机模型，能够生成无团着色。2024年秋季，当马杰到清华访问授课时，申武杰将这个想法分享给了他，随后马杰的学生谢晟捷也加入了研究团队。三人花费了近一年时间，完成了包含40页密集计算的证明。马杰后来表示：“我们很幸运，感觉所有努力都得到了回报。但这一路确实艰难了很长时间。”

AI解题与人类创造力

恰好在本文发表的同月，DeepMind公布了其AlphaProof Nexus项目的成果：在353个Erdős开放性问题中，攻克了9个，并证明了44个OEIS猜想，所有成果均通过Lean形式化验证。其中，有两道题已悬而未决56年。据报道，解决每道题的成本仅为几百美元。该系统利用Gemini 3.1 Pro驱动的agentic loop，反复搜索证明路径直至形式验证器通过。然而，这种方法本质上是在已知框架内进行搜索。

对此，数学家陶哲轩曾评论道：“AI是称职的助手，但不是同行。它擅长在已知方法里扫描匹配，但不擅长提出原创想法。”而马杰团队所做的，恰恰是后者。他们并未试图解决Erdős提出的某一道具体难题，而是对Erdős发明的概率方法本身进行了升级。AI从Erdős的遗产中拆除了9堵墙，而这三位中国研究者则重铸了他最引以为傲的“锤子”。在需要创造性洞察力的数学前沿领域，人类的智慧目前仍不可替代。

结语

1947年，Erdős抛出了一枚硬币，开创了概率组合学的新纪元。近80年后，一位来自中国、出生于21世纪初的博士生提出了一个简单的设想：“尝试将节点置于球面上。”

参考资料： https://www.quantamagazine.org/after-80-years-mathematicians-give-famed-erdos-method-an-upgrade-20260626/ 本文内容来源于微信公众号“新智元”，作者为ASI启示录，编辑为摩西，并由36氪获得授权发布。

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